Định nghĩa theo công thức truy hồi

Đa thức Chebyshev loại I xác định theo công thức truy hồi:

T 0 ( x ) = 1 T 1 ( x ) = x T n + 1 ( x ) = 2 x T n ( x ) − T n − 1 ( x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{n+1}(x)&=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x).\end{aligned}}}

Công thức tổng quát quy ước của Tn

∑ n = 0 ∞ T n ( x ) t n = 1 − t x 1 − 2 t x + t 2 . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}.\,\!}

Công thức mũ tổng quát

∑ n = 0 ∞ T n ( x ) t n n ! = 1 2 ( e ( x − x 2 − 1 ) t + e ( x + x 2 − 1 ) t ) . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}={1 \over 2}\left(e^{(x-{\sqrt {x^{2}-1}})t}+e^{(x+{\sqrt {x^{2}-1}})t}\right).\,\!}

Đa thức Chebyshev loại II xác định theo công thức truy hồi:

U 0 ( x ) = 1 U 1 ( x ) = 2 x U n + 1 ( x ) = 2 x U n ( x ) − U n − 1 ( x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{n+1}(x)&=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x).\end{aligned}}}

Một công thức tổng quát của Un

∑ n = 0 ∞ U n ( x ) t n = 1 1 − 2 t x + t 2 . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}}.\,\!}

Định nghĩa theo lượng giác

Đa thức Chebyshev loại I có thể định nghĩa bằng lượng giác:

T n ( x ) = cos ⁡ ( n arccos ⁡ x ) = cosh ⁡ ( n a r c c o s h x ) {\displaystyle T_{n}(x)=\cos(n\arccos x)=\cosh(n\,\mathrm {arccosh} \,x)\,\!}

hoặc là:

T n ( cos ⁡ ( ϑ ) ) = cos ⁡ ( n ϑ ) {\displaystyle T_{n}(\cos(\vartheta ))=\cos(n\vartheta )\,\!}

với n = 0, 1, 2, 3,....

Định nghĩa theo lượng giác của đa thức Chebyshev loại II:

U n ( cos ⁡ ( ϑ ) ) = sin ⁡ ( ( n + 1 ) ϑ ) sin ⁡ ϑ {\displaystyle U_{n}(\cos(\vartheta ))={\frac {\sin((n+1)\vartheta )}{\sin \vartheta }}\,\!}

công thức này khá giống với nhân Dirichlet (Dirichlet kernel) D n ( x ) {\displaystyle D_{n}(x)\,\!} :

D n ( x ) = sin ⁡ ( ( 2 n + 1 ) ( x / 2 ) ) sin ⁡ ( x / 2 ) = U 2 n ( cos ⁡ ( x / 2 ) ) {\displaystyle D_{n}(x)={\frac {\sin((2n+1)(x/2))}{\sin(x/2)}}=U_{2n}(\cos(x/2))\,\!} .

Dễ thấy, cos ⁡ ( n ϑ ) {\displaystyle \cos(n\vartheta )} là đa thức bậc n với cos ⁡ ( ϑ ) {\displaystyle \cos(\vartheta )} là biến. Đồng thời, cos ⁡ ( n ϑ ) {\displaystyle \cos(n\vartheta )} cũng là phần thực trong công thức Moivre (de Moivre's formula).

Từ công thức tổng quát bằng lượng giác ở trên, có thể dễ dàng chứng minh công thức truy hồi:

T n + 1 ( cos ⁡ ( ϑ ) ) = 2 cos ⁡ ( ϑ ) T n ( cos ⁡ ( ϑ ) ) − T n − 1 ( cos ⁡ ( ϑ ) ) = 2 cos ⁡ ( ϑ ) cos ⁡ ( n ϑ ) ) − cos ⁡ ( ( n − 1 ) ϑ ) = cos ⁡ ( ( n + 1 ) ϑ ) + cos ⁡ ( ( n − 1 ) ϑ ) − cos ⁡ ( ( n − 1 ) ϑ ) = cos ⁡ ( ( n + 1 ) ϑ ) {\displaystyle T_{n+1}(\cos(\vartheta ))=2\cos(\vartheta )T_{n}(\cos(\vartheta ))-T_{n-1}(\cos(\vartheta ))=2\cos(\vartheta )\cos(n\vartheta ))-\cos((n-1)\vartheta )=\cos((n+1)\vartheta )+\cos((n-1)\vartheta )-\cos((n-1)\vartheta )=\cos((n+1)\vartheta )\,\!}

Sau đây, ta sẽ kiểm tra tính đúng đắn của định nghĩa đa thức Chebyshev theo lượng giác, với n = 0 và n = 1:

T 0 ( cos ⁡ ϑ ) = cos ⁡ 0 ϑ   = 1 {\displaystyle T_{0}(\cos \vartheta )=\cos 0\vartheta \ =1\,\!}

và:

T 1 ( cos ⁡ ϑ ) = cos ⁡ ϑ {\displaystyle T_{1}(\cos \vartheta )=\cos \vartheta \,\!}

và với đa thức Chebyshev bậc 2 và 3:

cos ⁡ ( 2 ϑ ) = 2 cos ⁡ ϑ cos ⁡ ϑ − cos ⁡ 0 ϑ = 2 cos 2 ϑ − 1 {\displaystyle \cos(2\vartheta )=2\cos \vartheta \cos \vartheta -\cos 0\vartheta =2\cos ^{2}\,\vartheta -1\,\!} cos ⁡ ( 3 ϑ ) = 2 cos ⁡ ϑ cos ⁡ ( 2 ϑ ) − cos ⁡ ϑ = 4 cos 3 ϑ − 3 cos ⁡ ϑ {\displaystyle \cos(3\vartheta )=2\cos \vartheta \cos(2\vartheta )-\cos \vartheta =4\cos ^{3}\,\vartheta -3\cos \vartheta \,\!}

tương tự cho các bậc cao hơn.

Một tính chất khá thú vị của đa thức Chebyshev:

T n ( T m ( x ) ) = T n ⋅ m ( x ) . {\displaystyle T_{n}(T_{m}(x))=T_{n\cdot m}(x).\,\!}

Mối liên hệ giữa đa thức Chebyshev và số phức: cho z = a + bi,

z n = | z | n ( cos ⁡ ( n arccos ⁡ a | z | ) + i sin ⁡ ( n arccos ⁡ a | z | ) ) = | z | n T n ( a | z | ) + i b   | z | n − 1   U n − 1 ( a | z | ) . {\displaystyle {\begin{aligned}z^{n}&=|z|^{n}\left(\cos \left(n\arccos {\frac {a}{|z|}}\right)+i\sin \left(n\arccos {\frac {a}{|z|}}\right)\right)\\&=|z|^{n}T_{n}\left({\frac {a}{|z|}}\right)+ib\ |z|^{n-1}\ U_{n-1}\left({\frac {a}{|z|}}\right).\end{aligned}}}

Định nghĩa theo phương trình Pell

Trong vành R[x] (tập hợp các đa thức với hệ số thực),[1] đa thức Chebyshev được định nghĩa như nghiệm của phương trình Pell biến thể:

T i 2 − ( x 2 − 1 ) U i − 1 2 = 1 {\displaystyle T_{i}^{2}-(x^{2}-1)U_{i-1}^{2}=1\,\!} .

Sử dụng kĩ thuật giải phương trình Pell có tên là "nghiệm sinh từ nghiệm nhỏ nhất", suy ra công thức tổng quát sau:

T i + U i − 1 x 2 − 1 = ( x + x 2 − 1 ) i . {\displaystyle T_{i}+U_{i-1}{\sqrt {x^{2}-1}}=(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{i}.\,\!}